第九届拉姆杯数学竞赛
大学组(一)
比 赛 介 绍：
1. 满分为100分, 考试将于8月29日晚上21:00开始.
2. 考试结束后, 请尽快打开数学竞赛网站链接 lamu.run
(或https://lamu.run ), 完成答题卡的上传.
如果您不知道如何操作, 或者您的文件太大(超过15MB), 您也可以将答题卡发送到我的个人网站邮箱 alinalagrange@lamu.run , 或者发送到数学竞赛官方邮箱
math@lamu.run .
3. 这次考试是闭卷考试, 请在考试期间不要互相讨论,
也不要向其他聊天群组发送题目询问.
4. 这次竞赛是由 Alina Lagrange 命题.
(我的个人网站是
alinalagrange.cn )
特别提示: 公式太长不完全显示可以左右拉动 O(∩_∩)O
填空题 (满分32分, 请直接填写结果)
1.
Catalan 常数常用字母 \(G\)
表示,
它的定义是
\[G:=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}. \]
参考以上, 计算\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x+\cos x)
\, \mathrm d x.
\]
2. 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, \(n=2869\), 计算 \[ \sum_{p=1}^{n} \int_0^p \cos \frac{2 \pi n[x+1]}{p} \mathrm{~d} x.\]
3. 计算 \[ \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \frac {\arccos \left(\frac{1}{1+2 \cos \theta}\right)}{1+ e^{\sin(\theta ^3)}} \mathrm{~d} \theta. \]
4. 设 \[ \mathscr H_n = \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \binom{n}{m} \frac{1}{m}. \] 计算无穷级数 \[ S= \sum_{ n=1 }^\infty \frac {\mathscr H_n }{n^3}. \]
2. 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, \(n=2869\), 计算 \[ \sum_{p=1}^{n} \int_0^p \cos \frac{2 \pi n[x+1]}{p} \mathrm{~d} x.\]
3. 计算 \[ \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \frac {\arccos \left(\frac{1}{1+2 \cos \theta}\right)}{1+ e^{\sin(\theta ^3)}} \mathrm{~d} \theta. \]
4. 设 \[ \mathscr H_n = \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \binom{n}{m} \frac{1}{m}. \] 计算无穷级数 \[ S= \sum_{ n=1 }^\infty \frac {\mathscr H_n }{n^3}. \]
解答题 (满分68分, 解答请写出证明或者计算过程)
5. (本小题满分14分)
设
\[{}^* \mathbb R^4 _{+}:=
\{(x,y,z,t) |
\, x,y,z,t>0 \},\]
求
\[
\iiiint _{
{
} ^*\mathbb R^4_{+}}
\frac{\ln(x\coth x)}{x^2} \cdot
\frac{\ln((x+y)\coth (x+y))}{(x+y)^2}\cdot \frac{\mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz\, \mathrm dt }{(1+z^{2025})(1+(z+t)^{2025})}. \]
6. (本小题满分14分)
(i) 设光滑函数 $\mu(x), x \in \mathbb{R}^n(n \geq 2)$ 满足方程 $$ \frac{\partial^{2} \mu}{\partial x_1 ^{2}}+ \cdots + \frac{\partial^{2} \mu}{\partial x_n^{2}}=0, $$ 且满足 \[ \int_{\mathbb{R}^n} |\mu(x)|^2 \, \mathrm dx \leq 2025. \] 求所有满足上述条件的函数 \(\mu\).
(ii) 设光滑函数 $u(x), x \in \mathbb{R}^n(n \geq 2)$ 满足方程 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x_1 ^{2}}+ \cdots + \frac{\partial^{2} u}{\partial x_n^{2}}=u, $$ 并且 $$ |u(x)| \leq 2025 . $$ 求所有满足上述条件的函数 \(u\).
(i) 设光滑函数 $\mu(x), x \in \mathbb{R}^n(n \geq 2)$ 满足方程 $$ \frac{\partial^{2} \mu}{\partial x_1 ^{2}}+ \cdots + \frac{\partial^{2} \mu}{\partial x_n^{2}}=0, $$ 且满足 \[ \int_{\mathbb{R}^n} |\mu(x)|^2 \, \mathrm dx \leq 2025. \] 求所有满足上述条件的函数 \(\mu\).
(ii) 设光滑函数 $u(x), x \in \mathbb{R}^n(n \geq 2)$ 满足方程 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x_1 ^{2}}+ \cdots + \frac{\partial^{2} u}{\partial x_n^{2}}=u, $$ 并且 $$ |u(x)| \leq 2025 . $$ 求所有满足上述条件的函数 \(u\).
7. (本小题满分20分)
如图所示, 在开心农场的农场发明屋的角落里, 有一台孵蛋机.
在某一天, 管理农场发明屋的大卫准备对孵蛋机进行一次日常检查.
请你协助他解决一些问题或者进行一些探究.
(\(a\)) 大卫看见墙上的手稿, 思考了一些时间, 突然大声疾呼:“如此手稿, 确有问题! 如果演算第一步推导都有错误, 那我们的孵蛋机确有问题!" 确实, 之前庄园的孵蛋机经常出故障. 我们仔细观察会发现, 墙上手稿里面的积分确有问题. 无论积分(无穷)区间取 \(\mathbb R\) 还是 \(\mathbb R_+ \), 其结果都是不正确的. 图片中积分是 \[ I_p=\int_{\mathbb R_+} e^{\frac {-x^p }{p}} \mathrm dx \] 在 \(p=2\) 时的特殊情况. 请证明: 当 \( p=2+\frac 1n , n\geq 2025 \) 时,
(\(b\)) (i) 孵蛋机器的很多状态变量都可以使用形如
\(a\): 常数, 满足 \(a>0 \),
$T(t)$: 表示温度偏离理想设定值的大小(单位: ℃),
$\tau$: 传感器反馈的时间延迟 (单位: 秒).
请你研究当 \(0< a\tau <\frac \pi 2\) 时候, 孵蛋机器环境温度能不能保持渐近稳定性, 即是否有 \[\lim_{t\to \infty } T(t)=0 \] 成立.
\[\]
(\(a\)) 大卫看见墙上的手稿, 思考了一些时间, 突然大声疾呼:“如此手稿, 确有问题! 如果演算第一步推导都有错误, 那我们的孵蛋机确有问题!" 确实, 之前庄园的孵蛋机经常出故障. 我们仔细观察会发现, 墙上手稿里面的积分确有问题. 无论积分(无穷)区间取 \(\mathbb R\) 还是 \(\mathbb R_+ \), 其结果都是不正确的. 图片中积分是 \[ I_p=\int_{\mathbb R_+} e^{\frac {-x^p }{p}} \mathrm dx \] 在 \(p=2\) 时的特殊情况. 请证明: 当 \( p=2+\frac 1n , n\geq 2025 \) 时,
\[ I_p > \left( 2+\frac 1n \right )^{-\frac {n+1}{2n+1}} \frac {4n+4+\sin \frac 1n }{3n+1}. \]
(\(b\)) (i) 孵蛋机器的很多状态变量都可以使用形如
\[
\frac{
\mathrm
dr}{
\mathrm dt} =\omega(t, r), \quad r\left(t_0\right)=r_0
\]
的微分方程来描述.
对于非负的连续函数
\(\omega:\left[t_0, \beta\right) \times[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)\) 及 \(v:[\alpha, \beta)\) \(\rightarrow[0,+\infty)\),
若当 \(v(s) \leq v(t), \
\)\(
(t \in\left(t_0, \beta\right),
\) \(
s \in(\alpha, t])\) 时, 有
\[
\limsup _{h \rightarrow 0+} \frac{v(t+h)-v(t)}{h} \leq \omega(t, v(t))
\]
成立, 其中 \(t_0 \in[\alpha, \beta)\).
又设对于 \(r_0 \geq \sup _{\alpha \leq s \leq t_0} v(s)\),
\[
\frac{
\mathrm
dr}{
\mathrm dt} =\omega(t, r), \quad r\left(t_0\right)=r_0
\]
的最大解 \(r(t)\) 于区间 \(\left[t_0, \beta\right)\) 上存在, 证明
\[
v(t) \leq r(t), \quad t \in\left[t_0, \beta\right).
\]
(ii)
在孵蛋机运行过程中，温度 $T(t)$ 需要保持稳定.
由于传感器和加热器存在反应延迟，温度变化可以简化为以下微分方程：
$$
\frac{
\mathrm
d T(t)}{
\mathrm dt} = -a\,T(t-\tau), \ \ \tau>0.
$$
其中:
\(a\): 常数, 满足 \(a>0 \),
$T(t)$: 表示温度偏离理想设定值的大小(单位: ℃),
$\tau$: 传感器反馈的时间延迟 (单位: 秒).
请你研究当 \(0< a\tau <\frac \pi 2\) 时候, 孵蛋机器环境温度能不能保持渐近稳定性, 即是否有 \[\lim_{t\to \infty } T(t)=0 \] 成立.
8. (本小题满分20分)
设
$
Q\subset\mathbb R ^n $
是边平行于坐标轴的方体.
定义
\[\]
$$ \mathrm {Avg}_Q f =\frac{ 1}{
|Q|}\int _{ Q } |f (y)| \, \mathrm d { y } $$
表示 $f$ 在 $Q$ 上的平均值,
其中 \(|Q|\) 表示方体
\(Q \)
的体积.
在本题中, 我们始终假设 \(f\) 局部可积(默认在任何有界集合上可积).
(i)
设常数
$ p>1$,
局部可积函数 \( \varphi \) 满足:
存在常数 $C>0$ 使得对任意方体 $Q\subset \mathbb R^n $,
$$
\left(\frac{1}{|Q|} \int_Q e^{\varphi(x)-\mathrm {Avg}_Q \varphi} \mathrm
d x\right)\left(\frac{1}{|Q|} \int_Q e^{-\frac{\varphi(x)- \mathrm {Avg}_Q \varphi}{p-1}} \mathrm
d x\right)^{p-1} \leq C.
$$
证明
$$
\int_
{\mathbb{R} ^{2025} }\prod _{ i=1}^{2025} e^{-\pi x_i^2 \left(\frac{x_i+|Q|^{2i}}{x_i+|Q|^i}\right)^2} \, \mathrm dx_1
\, \mathrm dx_2 \cdots \, \mathrm dx_ {2025} \leq \frac{1}{|Q|} \int_Q e^{\varphi(x)-\mathrm {Avg}_Q \varphi} \, \mathrm d x ,
$$
$$
\int_
{\mathbb{R} ^{2025} }\prod _{ i=1}
^{2025} e^{-\pi x_i^2 \left(\frac{x_i+|Q|^{2i}}{x_i+|Q|^i}\right)^2} \, \mathrm dx_1
\, \mathrm dx_2 \cdots \, \mathrm dx_ {2025}
\leq \frac{1}{|Q|} \int_Q e^{-\frac{\varphi(x)-\mathrm {Avg}_Q \varphi}{p-1}} \, \mathrm d x.
$$
其中 \(|Q|\ge 1 \).
(ii)
我们用
$$f _Q^* =\frac{ 1}{
|Q|}\int _{ Q } |f (y)-\mathrm {Avg}_Q f| \, \mathrm d { y } $$
表示 $f$ 在 $Q$ 上的平均振荡.
定义
$$\| f \|_{
\mathscr
{B}} :=\sup _{ Q \subset \mathbb R^n } f_ Q ^*. $$
如果函数 \(f\) 满足 \[\| f \|_{ \mathscr {B}}< \infty, \]
我们称 \(f\) 是“有界平均振荡函数". 同时定义
\[\|f\|_{
\mathscr
{B}}^{\prime}:=\sup _Q \inf _{c } \frac{1}{|Q|} \int_Q|f(y)-c| \, \mathrm
d y.\]
对于区间 \(E=(a,b)\subset \mathbb R_+, \)\( \, b>a>0 \),
是否存在无界函数 \(u(x)\) 满足
$$ \sup _{ E \subset \mathbb R_+ }\frac{ 1}{
|E|}\int _{ E } |u (y)-\mathrm {Avg}_E u | \, \mathrm d { y }< \infty. $$
即无界函数 \(u(x)\) 是“有界平均振荡函数”? 证明你的结论.
(iii)
设 \(f,g\) 都是定义在 \(\mathbb R^n\)
上的“有界平均振荡函数”, 证明或者否定以下不等式:
\[\|\max \{f, g\}\|_{ \mathscr {B}} \leq \|f\|_{ \mathscr {B}}+\|g\|_{ \mathscr {B}},\]
\[\|\min \{f, g\}\|_{ \mathscr {B}} \leq \|f\|_{ \mathscr {B}}+\|g\|_{ \mathscr {B}}.\]
\[\]