Question 6 (30 points).
假设 $g(x) $ 是 $\bar{I}$ 上的 $m$ 次连续可微的函数, $I \subset \mathbb{R} $ 是一个开区间, $\bar{I}$ 表示 $I$ 的闭包. 对于给定的常数 $h>0$, 设
$$
I_h=\{x |
\, | g(x) | < h, x \in I\} .
$$
另外设
\[Q=\left\{\alpha\left|\alpha=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) \in \mathbb{Z}^n,|\alpha|=l, \alpha_i \geq 0\right\},\right. \]
其中 $l$ 是一个正整数.
(i) 如果存在常数 $d$ 使得在 $I$ 上, $\left|g^{(m)}(x)\right| \geq d>0$, 证明如下测度估计
\[
{ }
\mathfrak m(I_h) \leq
\left ( \frac {m+1 }m
\left[ \Gamma ( \ln (m+1 )-\ln m ) +
\Gamma \left ( \sin \frac 1m
\right )\right] + m^2-m -2 +\frac 2d
\right ) h^ {
\frac 1m }. \]
这里 \(\Gamma (\cdot )\)
表示 \(\Gamma \) 函数, \(\mathfrak
m(I_h ) \) 表示可测集合 \( I_h\) 的
Lebesgue 测度.
(ii)
对于 $\alpha, \beta \in Q$, "$\alpha \prec \beta$"
表示存在 $j \leq n$ 使得当 $i<
j$ 时, $\alpha_i=\beta_i$, 并且 $\alpha_j<\beta_j$. 这样, 对于任意 $\alpha, \beta \in Q$, 或者 $\alpha \prec \beta$, 或者 $\beta \prec \alpha$, 或者 $\alpha=\beta$. 如果 $\alpha \prec \beta$, 并且 $\beta \prec \gamma$, 则 $\alpha \prec \gamma$.
令 $\lambda=\left(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\right),
$
$
\lambda_i=M^{n-i}, i=1,2,$$ \cdots, n, M=n l$, 则 $\alpha \prec \beta$ 当且仅当 $(\alpha, \lambda)<(\beta, \lambda)$.
根据 $\alpha \prec \beta$ 的定义, 存在 $j \in\{1,2, \cdots, n\}$ 使得当 $i<
j$ 时, $\alpha_i=\beta_i$, 并且 $\alpha_j<\beta_j$.
注意到 $\alpha_i, \beta_i \leq l,
$ $ \alpha_j+1 \leq \beta_j$ 和 $M=n l$, 可得 $(\alpha, \lambda)<(\beta, \lambda)$.
根据序的择一性, 容易得到上述结论.
根据序关系"$\prec$", 可以把 $Q$ 记为
$$
Q=\left\{\alpha(i)|\ | \alpha(i)| =l ;\ \alpha_j(i) \geq 0, i=1,2, \cdots, N, \alpha(1) \prec \alpha(2) \prec \cdots \prec \alpha(N)\right\},
$$
这里 $\alpha_j$ 是 $\alpha$ 的分量, $N$ 是 $Q$ 的基数.
令 $n_i=(\alpha(i), \lambda)$, 有 $n_1< n_2<
\cdots<
n_N$.
假设 $f(x)$ 是充分光滑的函数, 证明存在一组向量 $v(1), v(2), \cdots, v(N)$ 满足对任意 $\beta \in Q$, 存在常数 $c_1, c_2, \cdots, c_N$ 使得
$$
\frac{\partial^\beta f}{\partial x^\beta}=\sum_{i=1}^N c_i D_{v(i)}^l f(x),
$$
其中 $D_v^l f(x)$ 表示 $f(x)$ 沿 $v$ 方向的 $l$ 阶方向导数, $v(i)$ 和 $c_i$ 与 $x$ 和 $f(x)$ 无关.
(iii)
假设 $g: x \in \bar{\Omega}$$ \rightarrow$$\left(g_1(x), g_2(x), \cdots, g_n(x)\right)$ 是 $\bar{\Omega}$ 上的解析映射,
其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的有界连通区域, 令
$$
\Omega_{\delta }=\left\{x \left\lvert\, k_1 g_1(x)+k_2 g_2(x)+\cdots+k_n g_n(x) \geq \frac{\delta }{|k|^{\tau }}\right., \ \forall 0 \neq k \in \mathbb{Z}^n\right\},
$$
其中 $\tau>n^2 -n -1$ 是常数. 如果对于所有的 $x \in \bar{\Omega}, $
$$
\operatorname{rank}
\left\{
\left. \frac{\partial^\alpha g}{\partial x^\alpha} \right \lvert \, \forall \alpha \in \mathbb{Z}^n,|\alpha| \leq n-1
{ }
\right \}=n,
$$
证明对任意充分小的 $\delta >0$, 有
$$ \mathfrak
m (\Omega-\Omega_{\delta } ) \leq \mathfrak C (\operatorname{diam} \Omega)^{n-1} \delta ^{\frac 1 {n-1}}
,$$
其中 $\mathfrak C $ 是与 $\delta $ 无关的常数.
(iv)
考虑近可积映射 $(\hat{y}, \hat{x})=\Psi(y, x)$,
$$
\hat{y}=y+\varepsilon g(y, x), \quad \hat{x}=x+\omega+\varepsilon f(y, x),
$$
其中 $y \in G \subset \mathbb{R}^m, G$ 是有界连通域,
$x \in \mathbb T^n ,
\, \varepsilon>0$ 是一个小参数.
假设:
(1) $\omega$ 是常向量, 满足
$$
\left|(k, \omega)+k_0\right| \geq \frac \gamma{|k|^{\tau}}, \quad \forall \, 0 \neq k \in \mathbb{Z}^n, \forall k_0 \in \mathbb{Z}
$$
其中 $\gamma$ 和 $\tau$ 是正常数.
(2)
$g$ 和 $f$ 是 $\left(G \times \mathbb T^n\right)+\delta$ 上的实解析函数,
其中常数 $\delta> 0 $.
(3) 映射
\(\Psi\)
具有相交性质, 即对任意 $y \in G+\delta$,
有
$$
\left(\left(\mathbb T^n+\delta\right) \times\{y\}\right) \cap \Psi\left(\left(\mathbb T^n+\delta\right) \times\{y\}\right) \neq \varnothing
.$$
设条件 (1),(2),(3) 成立,
证明存在 $\varepsilon_*>0$, 使得当 $\varepsilon \in \left[0, \varepsilon_*\right]$ 时,
对任意 $\left(y^{(0)}, x^{(0)}\right) \in G \times \mathbb T^n$ 和所有整数 $l \in[0, c_1 \exp \left(c_2 \varepsilon^{-\frac1 {n+\tau+2
} }\right)]$,
有
$$
\left|y^{(l)}-y^{(0)}\right|< c_3 \varepsilon^{\frac 1 {n+\tau+2}}.
$$
这里 $c_1, c_2, c_3$ 是不依赖 $\varepsilon$ 的常数,
且 $\left(y^{(l)}, x^{(l)}\right)=\Psi^l\left(y^{(0)}, x^{(0)}\right)$.